lunes, julio 11, 2005

La Geometría de las Flores

Estimados lectores, encuentro este artículo interesante desde no sólo el punto de vista matemático, biológico, científico o pedagógico sino que también puede ser una inspiración para el trabajo compositivo. Disfrútenlo.
Haladhara Dasa

LA GEOMETRÍA DE LAS FLORES

La Vida en los Números

Keith Devlin

New York 1998

Los patrones que siguen las manchas y las líneas sobre la piel de los animales, o la manera en que los virus hacen que las moléculas de ADN se enreden consigo mismas formando nudos,... desde lo grande hasta lo pequeño, las matemáticas pueden ayudarnos a entender el mundo de las criaturas vivas. De la misma manera podemos usar las matemáticas para ayudarnos a entender el otro mundo viviente, el mundo de las plantas.

Por ejemplo, ¿cómo describiríamos la forma de una flor? Una margarita, puede decirse que es una circunferencia. Así, la descripción de una circunferencia nos dará una idea de la forma de una margarita. Conocemos la descripción geométrica de una circunferencia como “los puntos de un plano que están a la misma distancia de un punto fijo llamado centro de la circunferencia”. Otra manera de explicar una circunferencia es al estilo de Descartes, es decir usando una ecuación algebraica (x² + y² = r², donde (x, y) son las coordenadas de los puntos de la circunferencia que satisfacen esa ecuación y r es el radio). Pero ni la margarita ni otra flor semejante son realmente una circunferencia. Lo parecen al ser vistas desde la distancia. De cerca se ven muchos pétalos. La forma que ellos crean es una circunferencia, aproximadamente. Su forma es más complicada que la de una circunferencia.

¿Las matemáticas pueden usarse para describir la forma real de una margarita? ¿Qué tal si tratamos de describir matemáticamente una flor que no es circular?

La pregunta parece inútil. Después de todo, ¿cuáles son los posibles beneficios que resultarían después de lograr tener una descripción matemática de una flor? ¿Por qué debemos molestarnos con estas cosas?

La respuesta es que siempre debemos considerar una buena idea la de tratar de entender la naturaleza. No se trata solamente de que como seres humanos derivamos satisfacción del entendimiento que podamos tener de nuestro mundo, sino que por otra parte nunca sabemos cuándo necesitaremos de nuestro entendimiento científico.

Pensemos en que, cuando los matemáticos del siglo XIX se preguntaron, investigaron y respondieron cuál era la descripción de la forma de un nudo, nadie tenía la más remota idea que al final del siglo XX se usaría esa descripción como una ayuda en la lucha contra los virus.

La lección que la historia nos enseña una y otra vez es que el conocimiento científico, el cual incluye el saber matemático, generalmente se torna benéfico para nosotros. Por supuesto que puede tener su lado perjudicial, tal como la contaminación producida por las industrias químicas o que los beneficios de tener automóviles tienen el precio del sufrimiento de los accidentes de carretera.

(Al respecto conviene mencionar el denominado chequeo ecológico, es decir, la reflexión acerca de las consecuencias de un cambio, sobre las repercusiones futuras de cualquier modificación. N. del T.)

¿Cuál podría ser el beneficio de tratar de encontrar una descripción matemática para una flor, digamos una lila? Bueno, aquí hay una respuesta posible: puede llevarnos a una mayor exactitud en la predicción del clima. ¿Sorprendid@? Bueno, ésta es la razón: si observamos de cerca esa lila, nos daremos cuenta que una pequeña parte de la flor luce muy semejante a la flor completa. El mismo fenómeno podemos observarlo con otras flores, con algunos vegetales, tales como el brócoli y la coliflor y con otras plantas como los helechos.

Los matemáticos se refieren al fenómeno de que una pequeña parte luzca como el todo llamándola “auto-semejanza”.

¿Qué otras cosas que vemos tienen esta propiedad de auto-semejanza? Las nubes, por ejemplo. Si tenemos una descripción matemática para describir los patrones de auto-semejanza, podemos usarla para estudiar las nubes. Con una buena matemática de las nubes podemos simular la formación, el crecimiento y el movimiento de las nubes en una computadora. Usando esas simulaciones, probablemente mejoraríamos nuestra habilidad de predecir climas severos y así protegernos de las consecuencias de un tornado o una tormenta de grandes dimensiones. ¿Es esto algo caprichoso? No, para nada. Los investigadores han llevado a cabo estas investigaciones por años. La naturaleza bien puede ser impredecible para nosotros, pero el uso de las matemáticas nos han ayudado a conseguir mejores predicciones, lo cual ciertamente ha salvado vidas.

Resumiendo, tal como un estudio matemático de los patrones de un nudo puede conducirnos a encontrar las técnicas para vencer a los virus, asimismo un estudio matemático de los patrones de auto-semejanza de las flores tales como la lila pueden ayudarnos a encontrar mejores técnicas para predecir el clima. Esta es la manera en la que las matemáticas trabajan.

Przemyslaw Prusinkiewicz es uno de los numerosos investigadores que han estado intentando encontrar descripciones matemáticas para las formas de auto-semejanza tales como las de las flores lila. Para obtener la descripción de las lilas, Prusinkiewicz y su colaborador, el Dr. Campbell Davidson, observaron la manera en la que la naturaleza crea la forma de la flor. Es como llegar a la descripción matemática de una circunferencia al observar la manera en que se dibuja una circunferencia con un compás. “Cuando observo las plantas”, dice Prusinkiewicz, “lo que encuentro hermoso es su forma. Pero existe otro plano de belleza, uno escondido. Es la belleza de entender los mecanismos que produjeron su forma”.

Tal como la teoría matemática de los nudos fue desarrollada mucho antes que los biólogos empezaran a usarla para estudiar los virus, asimismo las matemáticas de Prusinkiewicz empezaron hace años atrás, en este caso al final del siglo XIX. Uno de los descubrimientos clave fue hecho por el matemático Niels Fabian Helge von Koch. Él advirtió que si tomaba un triángulo equilátero, añadía un triángulo equilátero pequeño en la mitad de cada lado -previamente dividido en tres partes iguales- y repetía el proceso de añadir pequeños y más pequeños triángulos en el tercio central de los lados eventualmente llegaba a una forma fascinante llamada ahora el copo de nieve de Koch. (Para ser preciso, la idea es que se borra el segmento central de cada lado del triángulo inicial cada vez que se añade un triángulo pequeño a sus lados)

Lo que el ejemplo del copo de nieve de Koch nos muestra es que una forma de complicada apariencia puede ser el resultado de la aplicación de una regla muy simple una y otra vez. Es el uso repetido de una misma regla lo que desemboca en la propiedad de auto-semejanza que exhibe la forma final. Los matemáticos de hoy en día se refieren a las figuras con auto-semejanza con el nombre de fractales, una palabra inventada por el matemático Benoit Mandelbrot en los años 70. Mandelbrot mostró que la aplicación repetida de un tipo de regla lleva a un muy importante (para los matemáticos) forma fractal que ahora lleva su nombre, el conjunto Mandelbrot. Las imágenes de computadora del conjunto Mandelbrot han mostrado que se trata de una figura de increíble belleza y las películas han aprovechado para mostrar nada más que diferentes vistas de esta figura única, en diversas escalas de “magnificación”.

Para Prusinkiewicz, la idea entonces es la de escribir reglas que, usadas una y otra vez, produzcan las formas de auto-semejanza que observamos en la naturaleza, tales como la forma de la flor de la lila.

Los matemáticos se refieren a ese sistema de reglas repetidas para el crecimiento como el “sistema-L”. El nombre –poco atractivo- viene de Aristid Linenmayer, un biólogo que en 1968 desarrolló un modelo formal que describía el desarrollo de las plantas a nivel celular.

Por ejemplo, un sistema-L muy simple para producir una forma parecida a la de un árbol podría ser empezar con la parte superior de una rama, esa porción forma dos nuevas ramas, resultando en tres ramas. Cuando repetimos esta regla en las nuevas porciones superiores nos encontramos rápidamente con una forma parecida a la de un árbol.

Para generar una lila en su computadora, Prusinkiewicz empezó con un sistema-L muy simple para generar el esqueleto de la flor. Luego, tomando cuidados medidas de una lila verdadera, refinó su sistema-L de tal manera que la figura que produjo se parecía más a la real. Usando este sistema-L refinado generó la estructura de ramas de la lila. Entonces, usando la misma técnica, con un sistema-L diferente, produjo los brotes y la floración. ¡Voilà! Una flor lila creció delante de sus ojos. No una verdadera, producida por la naturaleza, era una lila matemática, producida en una computadora.

Para Prusinkiewicz, es una fuente de asombro interminable contemplar como formas naturales aparentemente complejas pueden resultar a partir de reglas muy simples. “Es muy excitante contemplar estructuras que pensábamos eran muy complejas eran muy simples en principio”, recalca. “Una planta está repitiendo la misma cosa una y otra vez. Como lo hace en tantos lugares, la planta termina con una estructura que luce compleja para nosotros. Pero no es compleja en realidad; tan sólo es intrincada. Cuando apreciamos la belleza de la forma de una planta, aquella no proviene de su estructura estática, pues a menudo proviene también del proceso que culminó en esa estructura. Para un científico que aprecia la belleza la belleza de esa flor o de una hoja, es un aspecto importante el entender cómo estas cosas evolucionaron en el tiempo. Podría llamarse la belleza algorítmica de las plantas. Es un poco la belleza escondida”.

Prusinkiewickz define su trabajo como uno creativo. Él usa las matemáticas para crear (en su caso, en una computadora) algunos de los patrones que vemos en la naturaleza. “La creatividad es la esencia de las matemáticas”, dice. “Las matemáticas no son jugar con los números y hacer las cuentas. Las matemáticas trabajan con ideas en una forma creativa pero muy precisa”.

(Comentario del traductor: Y bien, ¿cuál es la posible aplicación de este conocimiento en el área compositiva? Algunas posibilidades son:
- Si un compositor escribe una regla o un conjunto de reglas simples que al repetirlas una y otra vez sobre una porción musical escogida -un ritmo, una armonía, una melodía, una tímbrica,...- éstas producen una forma compleja ya sea rítmica, armónica, melódica o tímbrica. Es decir, produce una composición rítmica, armónica, etc. con auto-semejanza, fractal.
- La más general de todas las posibilidades es la de continuar (o empezar) observando la naturaleza en sus procesos de crecimiento y desarrollo para encontrar caminos en la búsqueda compositiva.
- Aplicar matemáticas –geometría, análisis, topología, algoritmia, etc.- para encontrar formas cuasi-musicales lo suficientemente aptas a ser esculpidas artísticamente por el compositor hasta convertirlas en formas plenamente musicales.
- Etc.)

6 comentarios:

TUMAY dijo...

excelente el artículo; totalmente
-desde mi modesto punto de vista- aplicable al hecho de componer música. Es más, me gusta mucho la manera "amusical" de ver la música, es decir, partir de la idea de que "lo musical" no es algo que ciertamente exista en el universo, sino que es una transformación que el hombre hace de ese universo (de sus estructuras, procesos, ...etc, incluyendo al mismo hombre y a ese "microuniverso" que es su propia cultura) teniendo como elementos escenciales al sonido y al tiempo (y al espacio). recién despues de esto -segun yo- ya se puede pasar al analisis armonico, formal, ...etc, que son tipos de análisis bastante contextuales.
saludos! y gracias por tener este espacio donde se puede comentar de estos temas.
pd: ¿qué es una forma plenamente musical y una cuasimusical?

Gato Negro dijo...

No sé si se trata de una falta de herramientas de técnica compositiva (por decirlo de una manera elegante), pero el siglo XX y también lo que va del XXI se ha llenado de compositores que se afanan en extremo por buscar una justificación extra-musical (léase matemática, textual, pictórica, esotérica, extraterrestre, etc.) para las estructuras de su música. Y no debemos confundir las cosas. Como Tumay bien dice, la composición (la “música” propiamente) es una intervención humana, una creación cultural. No existe “música de las esferas” como realidad sonora (el término se refiere al perfecto funcionamiento del sistema inercial planetario, en realidad, a una creencia que dicho funcionamiento estaba relacionado con la geometría básica, y no es así) No existe música en el crecimiento de las plantas ni en ningún otro fenómeno natural: la música es un fenómeno artificial creado por el hombre.

Pero, tal como sucede con todas (o casi todas) nuestras actividades, no podemos dejar de referirnos a la naturaleza para su elaboración. Nuestra propia percepción de la música está gobernada por límites fisiológicos, naturales. Ha sido un error creer, por ejemplo, que la música tonal es la representanción máxima de lo natural (por eso de los armónicos), y muchos en el s. XIX y XX lo han creido (y aún lo creen), y tanto los conceptos de creación como de análisis los pretenden fundamentar en esa supuesta “perfección natural” de la triada mayor. Pero ese es otro rollo.

A mí me parece que la búsqueda de nuevos materiales lleva a algunos compositores a tratar de extraerlos de fenómenos no musicales, como los fractales o muchos otros. Yo mismo he recorrido, y recorro a veces esos caminos. Pero el peligro aparece cuando se pierde de vista el objetivo, y en lugar de pensar en la obra musical en sí, se considera al material y su modo de obtención como el fin máximo de la composición. Bajo este concepto, a veces se pretende justificar lo perceptivamente inaceptable sólo porque “el sistema obliga”.

No estoy en desacuerdo con las especulacuiones matemáticas para obtener materiales musicales, pero ya he observado cómo algunos compositores que así especulan llegan a resultados sonoros idénticos o casi a otros obtenidos mediante la simple utilización de una estructura improvisada. Se pude argumentar que dicha estructura improvisada no es sino la patentización de que nuestros procesos mentales son producto, en gran parte, de una respuesta condicionada por una organización matemática (lo que es verdad), pero eso no invalida el proceso. Pero devanarse los sesos para obtener un par de notas que las puedo tocar de la misma manera sin tanto trabajo mental, no sé si valga la pena, y como dije antes, empieza a mover la mira hacia el lado equivocado del asunto.

La manera “amusical” de ver la música es más bien verla como si fuera un brote espontáneo de la naturaleza y el universo. La música es creación humana. No existió antes que él ni existirá después. Todos los elementos sonoros o sonorizables de la naturaleza, si bien pudieran ser utilizados como punto de partida de una composición, no son música, sino sonidos, parcialmente organizados quizá, pero no en forma de obra musical.

Y no olvidemos otra cosa: por más simples o complejas que resulten las estructuras musicales que extraigamos de los procesos matemáticos o naturales, el fin de ellas es servirnos para la composición musical. Algunos compositores jóvenes y alumnos de composición, a la hora de trabajar, piensan demasiado en el análisis de la obra que en el resultado sonoro. El análisis se puede justificar o se puede realizar mediante algoritmos computacionales que expliquen matemáticamente una obra musical, pero la composición mejor sustentada, matemáticamente, no necesariamente será una obra perceptivamente buena. Hasta ahora, nuestra percepción (combinación de nuestra audición con nuestra psicología) es la mejor y única jueza de la validez de una obra musical. Y ojalá siga siendo así.

Marco dijo...

Buen comentario Rafael, y quizás aquí pudiera nacer una pregunta para el proyecto sobre los compositores de Circomper, una que apunte a responder honestamente si consideramos el resultado sonoro tan/o más importante como el método/sistema que usamos al componer. Y si se tiene que sacrificar uno de ellos, ¿Cuál seria...?

Pienso qe el artículo de las flores es motivante y me lleva simplemente a pesar que cualquier cosa/hecho que nos maraville nos puede impulsar a trabajar, crear, investigar en campos que no habíamos considerado anteriormente. ¿No es la mente humama sorprendentemente poderosa? A veces una sola palabra, imágen, ruido o contacto puede encender nuestras mentes en fuego, pero luego viene la segunda parte, en la cual coincido mucho con Rafael: que hacemos con este chispaso de creatividad, hasta donde lo arruinamos con nuestra onda ultra-moderna tan de moda. Un bonito tema, no creen?

TUMAY dijo...

sí, de hecho, lo de la percepción es vital, una estructura por más genial que sea, al menos a mí no me dice nada por sí sola, sin un resultado sonoro coherente (y contudente). Aunque también ahí hay una cosa: ¿a la percepción de quien o quienes nos estamos refiriendo? porque de hecho que en estos tiempos donde la música se ha convertido en un instrumento ("escucho música para bailar, para relajarme, para chupar, ...etc") estoy seguro de que la percepción de la mayoría (incluyendome) es bastante pobre, o está por debajo de lo que debería; osea, se percibe físicamente las cosas, pero no se tiene un cerebro desarrollado en ese aspecto, capaz de hacer que esa percepción sea más plena (aunque es cuestion sólo de ponerse a trabajar en ello, supongo)

les dejo este artículo que me datearon, que está muy bueno, dice tantas cosas interesantes (y sobre todo importantes), que me ha sobrecargado y ya no me acuerdo bien de casi ninguna, así que voy a leerlo una o 2 veces más!! (ven, también tengo una capacidad cerebral para la lectura por debajo de lo que debería ser... maldita tele!!... y bueno, tambien: maldito cole!!! "al colegio no voy más" como diría DanielF)
ya, acá está, es un extracto de una conferencia de Ligeti:

http://www.elementos.buap.mx/num44/pdf/3.pdf

aprovechando que les dejo ese link de Ligeti, no sé si antes les había dado este otro, que es de una entrevista también al mismo Ligeti. Está en audio, tienen que tener el RealAudio para escucharla.

http://www.bbc.co.uk/radio3/speechanddrama/ram/ajt09ligetti.ram

saludos!

TUMAY dijo...

no sé que pasó que no salió el link de la entrevista. ahora sí acá está:

ENTREVISTA LIGETI BBC

Anónimo dijo...

Creo que Lindenmayer quizo llegar a entender si el gran matematico de los cielos podria de algun modo describir un algoritmo para describir su grandeza como creador y en realidad el señor del orden no pudo poner en sus hechuras otra cosa mas ordenada que las matematicas y entonces es bueno darse cuenta que los numeros naturales no tienen su nombre tan decabellado como suena... en fin solo quiero que alguien me ayude a conseguir el libro La belleza algoritmica de las plantas... vivo en Pasto Colombia y no he podido conseguir el libro por que nadie me da razon de la editorial ... por favor ayudenme arco_uml@yahoo.es